Ensembles finis Exemples

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Étape 2

Factorisez $3$ à partir de $3 y + 9$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\sqrt{3 (y) + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\sqrt{3 y + 3 \cdot 3} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 y + 3 \cdot 3$ .

$\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{3 (y + 3)}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $\sqrt{y + 16}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 (y + 3)} - 1 = \sqrt{y + 16}$

Étape 3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 (y + 3)} = \sqrt{y + 16} + 1$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 (y + 3)}}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 (y + 3)}$ comme ${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 (y + 3))}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(3 y + 3 \cdot 3)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez.

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $3$ .

${(3 y + 9)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Simplifiez

$3 y + 9 = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ comme $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ .

$3 y + 9 = (\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} (\sqrt{y + 16} + 1) + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$ .

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Étape 5.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{y + 16}$ à la puissance $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{y + 16}$ à la puissance $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} {\sqrt{y + 16}}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1 + 1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{y + 16}}^{2}$ comme $y + 16$ .

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Étape 5.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 16}$ comme ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y + 9 = {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{y + 16}$ par $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{y + 16}$ par $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1$

Étape 5.3.1.3.2

Additionnez $16$ et $1$ .

$3 y + 9 = y + 17 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16}$

Étape 5.3.1.3.3

Additionnez $\sqrt{y + 16}$ et $\sqrt{y + 16}$ .

$3 y + 9 = y + 17 + 2 \sqrt{y + 16}$

Étape 6

Résolvez $2 \sqrt{y + 16}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$ .

$y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{y + 16}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y$

Étape 6.2.2

Soustrayez $17$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y - 17$

Étape 6.2.3

Soustrayez $y$ de $3 y$ .

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y + 9 - 17$

Étape 6.2.4

Soustrayez $17$ de $9$ .

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y - 8$

Étape 7

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{y + 16})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Étape 8

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 16}$ comme ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Simplifiez ${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Étape 8.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Étape 8.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Étape 8.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(y + 16)}^{1} = {(2 y - 8)}^{2}$

Étape 8.2.1.4

Simplifiez

$4 (y + 16) = {(2 y - 8)}^{2}$

Étape 8.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 4 \cdot 16 = {(2 y - 8)}^{2}$

Étape 8.2.1.6

Multipliez $4$ par $16$ .

$4 y + 64 = {(2 y - 8)}^{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez ${(2 y - 8)}^{2}$ .

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Étape 8.3.1.1

Réécrivez ${(2 y - 8)}^{2}$ comme $(2 y - 8) (2 y - 8)$ .

$4 y + 64 = (2 y - 8) (2 y - 8)$

Étape 8.3.1.2

Développez $(2 y - 8) (2 y - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 64 = 2 y (2 y - 8) - 8 (2 y - 8)$

Étape 8.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y - 8)$

Étape 8.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Étape 8.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Étape 8.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Étape 8.3.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Étape 8.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Étape 8.3.1.3.1.4

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Étape 8.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y - 8 \cdot - 8$

Étape 8.3.1.3.1.6

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y + 64$

Étape 8.3.1.3.2

Soustrayez $16 y$ de $- 16 y$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 32 y + 64$

Étape 9

Résolvez $y$ .

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Étape 9.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 y^{2} - 32 y + 64 = 4 y + 64$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} - 32 y + 64 - 4 y = 64$

Étape 9.2.2

Soustrayez $4 y$ de $- 32 y$ .

$4 y^{2} - 36 y + 64 = 64$

Étape 9.3

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} - 36 y + 64 - 64 = 0$

Étape 9.4

Associez les termes opposés dans $4 y^{2} - 36 y + 64 - 64$ .

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Étape 9.4.1

Soustrayez $64$ de $64$ .

$4 y^{2} - 36 y + 0 = 0$

Étape 9.4.2

Additionnez $4 y^{2} - 36 y$ et $0$ .

$4 y^{2} - 36 y = 0$

Étape 9.5

Factorisez $4 y$ à partir de $4 y^{2} - 36 y$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $4 y$ à partir de $4 y^{2}$ .

$4 y (y) - 36 y = 0$

Étape 9.5.2

Factorisez $4 y$ à partir de $- 36 y$ .

$4 y (y) + 4 y (- 9) = 0$

Étape 9.5.3

Factorisez $4 y$ à partir de $4 y (y) + 4 y (- 9)$ .

$4 y (y - 9) = 0$

Étape 9.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$y - 9 = 0$

Étape 9.7

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 9.8

Définissez $y - 9$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 9.8.1

Définissez $y - 9$ égal à $0$ .

$y - 9 = 0$

Étape 9.8.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 9$

Étape 9.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 y (y - 9) = 0$ vraie.

$y = 0, 9$

Étape 10

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$ vrai.

$y = 9$